Modelos Mixtos

Potencia estadística y diseño de estudios longitudinales

Cómo calcular el tamaño muestral para un LMM y simular la potencia con longpower y simr.

Datasets: Datos simulados (set.seed controlado), sleepstudy (lme4)

Objetivos de aprendizaje

  • Entender por qué los estudios longitudinales requieren métodos especiales de cálculo de potencia.
  • Distinguir entre potencia para detectar diferencias en interceptos vs. diferencias en pendientes.
  • Aplicar las fórmulas analíticas de Diggle et al. para intercepto aleatorio.
  • Usar longpower::lmmpower() para cálculos basados en la estructura del LMM.
  • Simular la potencia con simr::powerSim() para modelos complejos.

¿Por qué no basta con la fórmula clásica de dos muestras?

Cuando planificamos un estudio longitudinal, la tentación es usar la fórmula clásica:

n=2(zα/2+zβ)2σ2δ2n = \frac{2(z_{\alpha/2} + z_\beta)^2 \sigma^2}{\delta^2}

Esta fórmula supone observaciones independientes. En datos longitudinales, las mediciones repetidas dentro del mismo sujeto están correlacionadas. Ignorar esa correlación lleva a:

  • Sobreestimar el tamaño muestral necesario (si las correlaciones son positivas y altas): desperdiciar recursos.
  • Subestimar el tamaño muestral cuando el interés está en la pendiente de cambio: el número de sujetos importa más que el número de ocasiones.

El diseño óptimo de un estudio longitudinal exige responder:

  1. ¿Qué queremos detectar? ¿Diferencias en el nivel basal (intercepto) o en la tasa de cambio (pendiente)?
  2. ¿Cuántos sujetos por grupo?
  3. ¿Cuántas ocasiones de medición?
  4. ¿Cuál es el ICC esperado?

Potencia para intercepto vs. potencia para pendiente

Detectar una diferencia en el intercepto (nivel basal entre grupos) se beneficia de más sujetos, ya que el intercepto es esencialmente una comparación entre grupos en el momento inicial. En cambio, detectar una diferencia en la pendiente (tasa de cambio diferencial) se beneficia de un buen rango temporal: pocas mediciones muy espaciadas pueden ser más eficientes que muchas mediciones aglomeradas.

Fórmulas analíticas: modelo de intercepto aleatorio

Para un LMM con solo intercepto aleatorio y dos grupos (tratamiento vs. control), medidos en TT ocasiones igualmente espaciadas, la varianza del estimador de la diferencia en pendientes es (Diggle, Heagerty, Liang & Zeger, 2002):

Var(δ^slope)=12 σε2n⋅T(T2−1)[1+(T−1) ρCS]\text{Var}(\hat\delta_{\text{slope}}) = \frac{12\,\sigma^2_\varepsilon}{n \cdot T(T^2-1)} \left[1 + (T-1)\,\rho_{\text{CS}}\right]

donde ρCS=τ02/(τ02+σε2)\rho_{\text{CS}} = \tau_0^2 / (\tau_0^2 + \sigma^2_\varepsilon) es el ICC bajo estructura CS.

El tamaño muestral por grupo para detectar una diferencia de pendientes δ\delta con potencia 1−β1-\beta y nivel α\alpha es:

n=12 σε2 (zα/2+zβ)2T(T2−1) δ2⋅[1+(T−1) ρCS]n = \frac{12\,\sigma^2_\varepsilon\,(z_{\alpha/2}+z_\beta)^2}{T(T^2-1)\,\delta^2} \cdot \left[1 + (T-1)\,\rho_{\text{CS}}\right]
Cálculo analítico: tamaño muestral por fórmula

Uso de longpower::lmmpower() para cálculos con estructura del LMM

El paquete longpower (Donohue et al., 2011) implementa las fórmulas de Diggle et al. directamente y acepta los parámetros extraídos de un modelo piloto lmer.

Potencia con longpower: fórmula analítica basada en LMM

Simulación de potencia con simr

Para modelos más complejos (pendiente aleatoria, múltiples covariables, datos desbalanceados), la mejor estrategia es la simulación de Montecarlo con simr.

Potencia simulada con simr (puede tardar ~60 s)

Curva de potencia: variando el tamaño muestral

Curva de potencia vs. número de sujetos (simulación rápida)

Reglas prácticas para el diseño de estudios longitudinales

Para detectar diferencias en interceptos (niveles basales): el número de sujetos es el factor dominante; agregar visitas ayuda poco una vez que se tienen 3-4 mediciones. Para detectar diferencias en pendientes (tasas de cambio): el rango temporal es crucial. Es preferible medir pocas veces durante un período largo que muchas veces en un período corto. Un ICC alto reduce la eficiencia para los interceptos pero puede ayudar para las pendientes al reducir la varianza dentro de sujeto.

Repaso diseño de estudios longitudinales

Repaso rápido: flashcards

Quiz de autoevaluación

Autoevaluación

1. Un investigador diseña un estudio longitudinal y calcula que necesita n=50 sujetos por grupo usando la fórmula clásica para dos muestras independientes. El ICC esperado es 0.6. ¿Cuál será el efecto en el tamaño muestral real necesario?

2. ¿Cuál es la diferencia entre longpower::lmmpower() y simr::powerSim()?

Referencias del módulo

  • Diggle, P. J., Heagerty, P., Liang, K.-Y. y Zeger, S. L. (2002). Analysis of Longitudinal Data (2.ª ed.). Oxford University Press. [Capítulo 3: diseño de estudios longitudinales y cálculo de potencia].
  • Donohue, M. C., Gamst, A. C., Edland, S. D. (2011). longpower: Sample size calculations for longitudinal studies. R package, CRAN.
  • Green, P. y MacLeod, C. J. (2016). simr: An R package for power analysis of generalised linear mixed models by simulation. Methods in Ecology and Evolution, 7(4), 493–498.
  • Correa, J. C. y Salazar, J. C. (2016). Introducción a los modelos mixtos. Universidad Nacional de Colombia. [Sección 2.5: modelo de Laird-Ware y formulaciones especiales].