Modelos Mixtos

¿Qué son los modelos mixtos y cuándo usarlos?

Motivación, datos longitudinales y la diferencia entre efectos fijos y aleatorios.

Datasets: sleepstudy (lme4)

Objetivos de aprendizaje

  • Reconocer datos longitudinales y de medidas repetidas.
  • Distinguir entre efectos fijos y efectos aleatorios.
  • Entender por qué el modelo de regresión lineal clásico falla con datos correlacionados.
  • Escribir la notación general de un modelo lineal mixto.
  • Formular preguntas exploratorias a partir de estadísticos descriptivos y gráficos.

Motivación: cuando las observaciones no son independientes

En investigación clínica y experimental es común medir la misma variable varias veces sobre el mismo individuo: pacientes evaluados en distintas visitas, árboles medidos cada mes, estudiantes examinados en cuatro momentos del semestre. Estos diseños generan datos correlacionados: dos mediciones del mismo sujeto se parecen más entre sí que dos mediciones de sujetos distintos.

El modelo de regresión lineal clásico

yi=xi⊤β+εi,εi∼iidN(0,σ2)y_i = \mathbf{x}_i^\top \boldsymbol{\beta} + \varepsilon_i, \qquad \varepsilon_i \overset{iid}{\sim} N(0,\sigma^2)

asume independencia entre los errores εi\varepsilon_i. Si ignoramos la correlación, los errores estándar de los coeficientes se estiman incorrectamente y las pruebas de hipótesis pierden validez.

Un modelo mixto está diseñado para manejar esta dependencia de forma explícita.

Efectos fijos y efectos aleatorios

Un modelo mixto combina dos tipos de efectos:

  • Efectos fijos (β\boldsymbol{\beta}): describen la relación promedio en la población. Son los que habitualmente nos interesa estimar e interpretar (por ejemplo, el efecto del tiempo, la diferencia entre grupos).
  • Efectos aleatorios (bi\mathbf{b}_i): capturan las desviaciones individuales de cada sujeto respecto al promedio poblacional. Se modelan como variables aleatorias y nos interesan principalmente a través de su variabilidad (¿cuánto difieren las trayectorias entre sujetos?).

Analogía: notas a lo largo del semestre

Imaginá un curso con 30 estudiantes y 4 exámenes.

  • El efecto fijo sería la tendencia promedio de las notas a lo largo del tiempo.
  • Los efectos aleatorios reflejan que algunos estudiantes parten de un nivel más alto (intercepto aleatorio) y otros mejoran más rápido (pendiente aleatoria).

El modelo estima la curva promedio y reconoce que cada estudiante tiene su propia trayectoria.

Notación del modelo lineal mixto

Para el sujeto ii con nin_i observaciones:

yi=Xiβ+Zibi+εi\mathbf{y}_i = \mathbf{X}_i \boldsymbol{\beta} + \mathbf{Z}_i \mathbf{b}_i + \boldsymbol{\varepsilon}_i

con

bi∼N(0,D),εi∼N(0,Ri)\mathbf{b}_i \sim N(\mathbf{0}, \mathbf{D}), \qquad \boldsymbol{\varepsilon}_i \sim N(\mathbf{0}, \mathbf{R}_i)
  • Xi\mathbf{X}_i, Zi\mathbf{Z}_i: matrices de diseño para efectos fijos y aleatorios.
  • D\mathbf{D}: varianza de los efectos aleatorios (varianza de interceptos, pendientes y su correlación).
  • Ri\mathbf{R}_i: estructura de covarianza residual intra‑sujeto; por defecto σ2I\sigma^2 \mathbf{I}, pero puede modelar autocorrelación o heterocedasticidad.

Los efectos aleatorios "absorben" la correlación intra-sujeto, permitiendo que β\boldsymbol{\beta} describa la tendencia poblacional de forma correcta.

Análisis exploratorio: sleepstudy

El dataset sleepstudy (paquete lme4) contiene el tiempo de reacción (ms) de 18 sujetos durante 10 días consecutivos de restricción de sueño. Es el ejemplo canónico de medidas repetidas en la literatura de modelos mixtos (Bates et al., 2015, Journal of Statistical Software).

Estructura y balance

Estructura del dataset

Lo que revela la estructura:

  • 180 observaciones en total: 18 sujetos × 10 días (diseño balanceado).
  • Days va de 0 (línea base) a 9.
  • Subject es un factor con 18 niveles (identificadores numéricos).
  • Diseño balanceado: cada sujeto aporta exactamente 10 mediciones, lo que simplifica el análisis.

Preguntas que guían el análisis exploratorio

Antes de ajustar cualquier modelo, formulá estas preguntas

  1. ¿Hay una tendencia general de Reaction con Days?
  2. ¿Todos los sujetos siguen una trayectoria similar, o hay diferencias marcadas en el punto de partida (intercepto)?
  3. ¿Algunos sujetos se deterioran más rápido que otros (pendiente heterogénea)?
  4. ¿La variabilidad dentro de cada día aumenta, se mantiene constante o decrece?
  5. ¿Hay sujetos con valores anómalos que podrían influir en los resultados?

Estadísticos descriptivos por día

Media, SD, mediana y rango por día

Qué observar en la tabla:

  • La media sube casi linealmente: de ~257 ms en el día 0 a ~351 ms en el día 9 (≈ +10 ms/día).
  • La SD también crece con los días (de ~32 ms a ~67 ms). Esto es una señal de heterocedasticidad: la variabilidad entre sujetos se amplía conforme aumenta el deterioro, posiblemente porque algunos sujetos son más resistentes al efecto de la privación.
  • El coeficiente de variación (CV = SD/media) aumenta de ~12 % el día 0 a ~19 % el día 9, confirmando que la dispersión relativa también crece.
  • No se observan mínimos ni máximos extremos; el rango es coherente con tiempos de reacción humanos normales.

Comparativa entre sujetos: correlación individual Días → Reacción

Una forma directa de cuantificar la heterogeneidad es calcular la correlación de Pearson entre Days y Reaction dentro de cada sujeto. Si todos los sujetos tuvieran la misma pendiente, las correlaciones serían similares.

Correlación Days–Reaction por sujeto

Interpretación:

  • Casi todos los sujetos muestran correlaciones positivas fuertes (> 0.8), confirmando la tendencia general.
  • Sin embargo, la pendiente individual varía considerablemente: algunos sujetos se deterioran ~5 ms/día mientras que otros lo hacen a >20 ms/día.
  • Esta heterogeneidad en pendientes justifica incluir un efecto aleatorio de pendiente en el modelo, no solo de intercepto.

Visualización de las trayectorias

Spaghetti plot: panorama general

El gráfico de espagueti muestra la evolución de cada sujeto y el promedio poblacional en un solo panel.

Trayectorias individuales + tendencia promedio

Qué observar:

  • La línea roja (media) sube de forma aproximadamente lineal: el efecto fijo de Days es robusto.
  • Los sujetos no son paralelos: algunos parten más altos (intercepto aleatorio), otros suben más rápido (pendiente aleatoria).
  • Hay al menos un sujeto con trayectoria casi plana, lo que contrastaría con otros de pendiente pronunciada.

Rejilla de perfiles individuales (facet por sujeto)

Ver cada sujeto en su propio panel revela los patrones que el spaghetti plot superpone.

Perfil de cada sujeto — rejilla 3 × 6

Qué observar en la rejilla:

  • Los interceptos (posición en el día 0) varían mucho: hay sujetos que inician en ~200 ms y otros en ~300 ms.
  • Las pendientes también varían: algunas líneas rojas son casi horizontales, otras muy inclinadas.
  • Unos pocos sujetos tienen residuos no lineales (la recta no ajusta bien), lo que puede considerarse al especificar estructuras de covarianza más flexibles en módulos posteriores.
  • Esta es la evidencia visual directa que motiva el modelo de intercepto y pendiente aleatoria.

Distribución por día: boxplot con puntos

Distribución de Reaction por día

Lo que revela este gráfico:

  • Las cajas se elevan día a día: la mediana sube consistentemente.
  • Las cajas se agrandan a partir del día 5, reflejando el incremento de la SD que vimos en la tabla.
  • La línea roja de medianas traza una curva casi lineal, sin inflexiones evidentes.
  • Los puntos individuales muestran que la dispersión intra-día es real (no hay empaquetamiento cerca de la mediana).

¿Por qué la regresión clásica no es suficiente?

Si ajustáramos lm(Reaction ~ Days) ignorando que los datos están agrupados por sujeto, los 180 puntos se tratarían como independientes. Esto subestima los errores estándar del coeficiente de Days y produce valores p artificialmente pequeños.

Comparación: regresión clásica vs modelo mixto

Qué comparar:

  • El coeficiente de Days será similar en ambos (~10.5 ms/día) porque el estimador puntual no cambia mucho.
  • El error estándar de Days es mayor en el modelo mixto: el modelo clásico infraestima la incertidumbre porque trata 180 observaciones dependientes como si fueran 180 independientes.
  • El valor t del modelo mixto es más conservador y más honesto sobre la evidencia disponible.
  • La varianza de los efectos aleatorios en el modelo mixto cuantifica exactamente la heterogeneidad que vimos en los gráficos.

Pseudoreplicación

Tratar 180 observaciones de 18 sujetos como 180 puntos independientes infla el tamaño de muestra efectivo. En realidad, la información independiente viene de los 18 sujetos, no de las 180 mediciones. El modelo mixto estima correctamente cuánta información "nueva" aporta cada medición adicional dentro de un sujeto.

Resumen de hallazgos exploratorios

PreguntaHallazgo
¿Tendencia con el tiempo?Sí, lineal creciente (~10 ms/día en promedio)
¿Interceptos heterogéneos?Sí, rango ~200–310 ms en el día 0
¿Pendientes heterogéneas?Sí, rango ~2–25 ms/día entre sujetos
¿Heterocedasticidad?Indicios: SD aumenta de 32 a 67 ms con los días
¿Valores atípicos?No evidentes; distribución razonablemente simétrica
¿Modelo adecuado?LMM con intercepto y pendiente aleatoria

Conceptos clave del módulo