Introducción a los Modelos Mixtos

Familias binomial y Poisson para respuestas no gaussianas con efectos aleatorios.

Datasets: TOENAIL2 (infección ungueal, respuesta binaria), Coldfeet (conteos de eventos por centro)

Cuando la respuesta no es continua

Los modelos del Módulo 4-6 asumen que, condicional en los efectos aleatorios, la respuesta es aproximadamente normal con varianza constante. Esto deja de ser razonable cuando la respuesta es:

Binaria (presencia/ausencia de infección, éxito/fracaso de un tratamiento) → distribución Bernoulli/binomial.
De conteo (número de eventos en un periodo) → distribución Poisson (o binomial negativa si hay sobredispersión).

Un GLMM (Generalized Linear Mixed Model) extiende el LMM agregando dos ingredientes: una familia de distribución apropiada para la respuesta, y una función de enlace $g(\cdot)$ que conecta el predictor lineal con la media de esa distribución:

g(E[y_{it} \mid b_i]) = \beta_0 + \beta_1 \, \text{tiempo}_{it} + \beta_2 \, \text{trat}_i + \dots + b_{0i}

Caso 1: infección ungueal (binomial)

TOENAIL2 registra, en visitas repetidas, si la infección ungueal sigue presente ( $y=1$ ) o no ( $y=0$ ) para cada paciente bajo dos tratamientos antifúngicos. Con enlace logit:

\text{logit}\big(P(y_{it}=1 \mid b_{0i})\big) = \log\left(\frac{P(y_{it}=1)}{1-P(y_{it}=1)}\right) = \beta_0 + \beta_1 \, \text{time}_{it} + \beta_2 \, \text{treat}_i + \beta_3 (\text{time} \times \text{treat}) + b_{0i}

Exponenciando un coeficiente $\beta_k$ obtenemos un odds ratio (OR): $e^{\beta_2}$ es el OR de seguir infectado para el tratamiento vs. el control, para un paciente dado (interpretación condicional, "a nivel de paciente").

Caso 2: eventos de coldfeet (Poisson con offset)

Coldfeet registra el número de eventos $y$ observados en $n$ pacientes por centro y tratamiento. Para modelar una tasa (eventos por paciente) en lugar de un conteo crudo, usamos un offset:

\log(E[y_{ij}]) = \log(n_{ij}) + \beta_0 + \beta_1 \, \text{treat}_j + b_{0i}

El término $\log(n_{ij})$ se fija con coeficiente 1 (el offset()), de modo que $\beta_1$ se interpreta sobre la tasa $y_{ij}/n_{ij}$ , no sobre el conteo crudo. Exponenciando $\beta_1$ obtenemos un rate ratio (RR): cuántas veces más (o menos) frecuente es el evento bajo tratamiento, por centro.

Condicional vs. marginal: una distinción clave

En GLMM, el efecto aleatorio entra dentro de la función de enlace (no de forma aditiva en la escala de la respuesta, como en un LMM). Esto tiene una consecuencia importante: los coeficientes de un GLMM son condicionales, "para un paciente/centro dado, fijado su efecto aleatorio", y no son directamente comparables con los coeficientes de un modelo marginal (GEE, Módulo 10), que describen el efecto promedio en la población. Ambas interpretaciones son válidas; lo importante es no mezclarlas al comunicar resultados.

Flujo de análisis

1
Identificar la distribución
Binaria/proporción → binomial; conteos → Poisson (revisar sobredispersión); ambas con enlace canónico (logit / log).
2
Especificar el offset (si aplica)
Para modelar tasas en datos de conteo, incluir offset(log(n)) con el denominador apropiado (tiempo, número de sujetos, etc.).
3
Ajustar con glmer()
glmer(y ~ ... + (1 | grupo), family = binomial()/poisson()), por defecto usa aproximación de Laplace.
4
Exponenciar e interpretar
exp(coef) para obtener OR (binomial) o RR (Poisson); recordar que son interpretaciones condicionales.
5
Revisar sobredispersión
En Poisson, comparar varianza residual observada vs. esperada (DHARMa, Módulo 6); considerar binomial negativa si hay sobredispersión marcada.

De LMM a GLMM: qué cambia según el tipo de respuesta
Tipo de respuesta	Familia	Función de enlace	Interpretación de exp(β)	Ejemplo
Continua	gaussian	identidad	Cambio aditivo en la media	log_growth (Módulo 4)
Binaria / proporción	binomial	logit	Odds ratio (OR)	TOENAIL2 (infección sí/no)
Conteo	poisson	log	Rate ratio (RR)	Coldfeet (eventos por centro)

Tip: el offset no es un efecto fijo cualquiera

offset(log(n)) entra en el modelo con coeficiente fijo igual a 1, no se estima. Su función es trasladar el modelo de "conteo crudo" a "tasa por unidad de exposición".

Atención: condicional ≠ marginal

Un OR de un GLMM ("para un paciente dado") y un OR de un modelo marginal/GEE ("en promedio en la población") pueden diferir en magnitud, especialmente con varianza entre sujetos grande. No los presentes como si fueran intercambiables.

GLMM binomial con TOENAIL2

GLMM de Poisson con offset para tasas por centro

Tasas predichas por tratamiento (Coldfeet)

Repaso rápido: flashcards

Autoevaluación

1. TOENAIL2 registra si la infección sigue presente (1) o no (0) en cada visita. ¿Qué familia y enlace son apropiados?

2. En el modelo de Coldfeet, ¿qué representa exp(β_treat)?

3. Un colega dice que el OR de un GLMM y el OR de un modelo GEE para la misma pregunta "deberían ser idénticos". ¿Qué les responderías?

Intro a GLMM (General Linear Mixed Model)

Objetivos de aprendizaje