Introducción a los Modelos Mixtos

Comparar estructuras CS, AR(1) y UN y entender la matriz de covarianza residual.

Más allá de la matriz D

En el Módulo 4 modelamos la heterogeneidad entre sujetos con efectos aleatorios (intercepto y pendiente). Pero todavía asumimos que, dentro de cada árbol, los residuos $\varepsilon_{it}$ son independientes con varianza constante $\sigma^2$ . En datos longitudinales eso casi nunca es cierto: dos mediciones tomadas con una semana de diferencia suelen parecerse más entre sí que dos mediciones tomadas con un año de diferencia.

La estructura de covarianza residual modela justamente esa correlación intra-sujeto que los efectos aleatorios no capturan del todo. Elegir bien esta estructura mejora la eficiencia de las estimaciones y, sobre todo, evita errores estándar mal calculados (demasiado pequeños o demasiado grandes).

Tres estructuras clásicas

Para un sujeto con $n$ ocasiones de medición, la matriz de correlación residual $R$ ( $n \times n$ ) puede especificarse de varias formas:

R_{\text{CS}} = \begin{pmatrix} 1 & \rho & \rho & \rho \\ \rho & 1 & \rho & \rho \\ \rho & \rho & 1 & \rho \\ \rho & \rho & \rho & 1 \end{pmatrix} \qquad R_{\text{AR1}} = \begin{pmatrix} 1 & \rho & \rho^2 & \rho^3 \\ \rho & 1 & \rho & \rho^2 \\ \rho^2 & \rho & 1 & \rho \\ \rho^3 & \rho^2 & \rho & 1 \end{pmatrix} \qquad R_{\text{UN}} = \begin{pmatrix} 1 & \rho_{12} & \rho_{13} & \rho_{14} \\ \rho_{12} & 1 & \rho_{23} & \rho_{24} \\ \rho_{13} & \rho_{23} & 1 & \rho_{34} \\ \rho_{14} & \rho_{24} & \rho_{34} & 1 \end{pmatrix}

CS (Compound Symmetry / simetría compuesta): una sola correlación $\rho$ entre cualquier par de ocasiones, sin importar qué tan separadas estén. Es la estructura implícita de un modelo con solo intercepto aleatorio. Útil cuando los tiempos no son igualmente espaciados o cuando no hay razón para esperar que la correlación decaiga con la distancia.
AR(1) (autorregresiva de orden 1): la correlación decae geométricamente con la distancia temporal, mediciones cercanas se parecen más que las lejanas. Apropiada cuando los tiempos de medición están igualmente espaciados y hay un proceso de "memoria corta".
UN (sin restricción / unstructured): cada par de ocasiones tiene su propia correlación $\rho_{jk}$ , estimada libremente. Es la más flexible, pero requiere estimar $n(n-1)/2$ parámetros, solo viable con pocas ocasiones ( $n \le 5$ aprox.) y tamaños de muestra razonables.

Cómo elegir en la práctica

Si las ocasiones de medición no son equiespaciadas o son pocas (≤4) y el tamaño muestral lo permite, UN suele ser la opción más informativa, y se puede comparar contra CS/AR1 con un LRT (requiere method = "ML").
Si las ocasiones están equiespaciadas y son muchas, AR(1) es un punto de partida razonable y parsimonioso.
CS es el caso más simple y, de hecho, equivale a un modelo con solo intercepto aleatorio, útil como referencia ("modelo nulo de correlación").
La estructura de covarianza interactúa con los efectos aleatorios: si ya incluimos pendiente aleatoria, parte de la correlación temporal queda capturada allí, y una estructura residual más simple (CS) puede ser suficiente.

Flujo de análisis

1
Diagnosticar
Revisar los residuos del modelo del Módulo 4: ¿quedan patrones de correlación temporal sin explicar?
2
Proponer
Plantear 2-3 estructuras candidatas (CS, AR1, UN) compatibles con el diseño temporal del estudio.
3
Ajustar con ML
Reajustar cada candidata con method = "ML" para que los modelos sean comparables por verosimilitud.
4
Comparar
Usar AIC/BIC y anova() (LRT para modelos anidados) para elegir la estructura más parsimoniosa.
5
Reportar con REML
Reajustar el modelo elegido con REML (por defecto) para el reporte final de efectos fijos y varianzas.

Comparación de estructuras de covarianza residual
Estructura	Parámetros de correlación	Cuándo usarla	Código en nlme
CS	1 (ρ constante)	Tiempos no equiespaciados o pocas ocasiones; referencia simple	corCompSymm(form = ~ tiempo \| ID)
AR(1)	1 (ρ, decae con la distancia)	Tiempos equiespaciados, muchas ocasiones	corAR1(form = ~ tiempo \| ID)
UN	n(n-1)/2	Pocas ocasiones (≤5), máxima flexibilidad	corSymm(form = ~ tiempo \| ID)

Info: ML para comparar, REML para reportar

Al comparar estructuras de covarianza con anova() o AIC, ambos modelos deben ajustarse con method = "ML". Una vez elegida la estructura, reajusta con REML (el valor por defecto) para los resultados que vas a reportar.

Tip: empieza simple

Si UN no converge o las estimaciones se ven inestables, no es un fracaso: vuelve a AR(1) o CS. Una estructura más simple que converge bien es preferible a una compleja que no.

Ajustar CS, AR(1) y UN sobre SPRUCE1

Comparar AIC/BIC y prueba de razón de verosimilitud

Visualizar la matriz de correlación residual (UN)

Repaso rápido: flashcards

Autoevaluación

1. ¿Qué representa el parámetro ρ en la estructura CS?

2. Un estudio mide a cada paciente en 8 ocasiones igualmente espaciadas. ¿Qué estructura sería un buen punto de partida parsimonioso?

3. Para comparar mod_cs, mod_ar1 y mod_un con anova() de forma válida, ¿qué deben tener en común?

Apéndice: Regresión GLS con AR(1) puro (sin efectos aleatorios)

Existe una alternativa al LMM cuando el interés está únicamente en la correlación serial y no en la heterogeneidad individual: el modelo GLS con correlación AR(1) pero sin efectos aleatorios. Esto corresponde a la sección 3.12 del libro de Correa y Salazar (2016).

¿Cuándo usar GLS-AR(1) en lugar de un LMM?

Modelo	Supuesto	Cuándo usarlo
OLS clásico	Errores independientes	Solo si no hay correlación detectable
GLS-AR(1)	Correlación serial, sin heterogeneidad individual	Muchas obs. por sujeto; interés en coeficientes poblacionales
LMM + AR(1)	Heterogeneidad individual + correlación serial	Diseños mixtos con ambas fuentes de variación

Comparar OLS, GLS-AR(1) y LMM — Orthodont

El OLS subestima los errores estándar con correlación positiva

En datos longitudinales correlacionados, el OLS produce errores estándar demasiado pequeños e infla artificialmente los estadísticos t. El GLS-AR(1) corrige esto modelando la correlación serial explícitamente.

Apéndice: Estructuras avanzadas — FA, HF y ARMA(1,1)

Estructuras de covarianza avanzadas
Estructura	Parámetros	Cuándo usarla	Función en R (nlme)
FA(q) — Factor Analítico	qn − q(q−1)/2 + n	Alternativa parsimoniosa a UN cuando n es grande; q=1 suele ser suficiente.	corFactor()
HF — Huynh-Feldt	2n−1	Medidas repetidas donde la esfericidad no se cumple pero UN es muy general.	corSymm() con restricciones
ARMA(1,1)	2	Cuando AR(1) no captura bien la correlación a lag-1 (memoria más compleja).	corARMA(p=1, q=1)

Comparar AR(1) vs ARMA(1,1) — Orthodont

Apéndice: Regresión GLS con AR(1) puro (sin efectos aleatorios)

¿Cuándo usar GLS-AR(1) en lugar de un LMM?

Modelo	Supuesto	Cuándo usarlo
OLS clásico	Errores independientes	Solo si no hay correlación detectable
GLS-AR(1)	Correlación serial, sin heterogeneidad individual	Muchas observaciones por sujeto; interés en los coeficientes poblacionales
LMM + AR(1)	Heterogeneidad individual + correlación serial	Diseños mixtos con ambas fuentes de variación

La diferencia clave: en el GLS-AR(1), todos los sujetos tienen la misma función de correlación, sin componente de varianza entre sujetos. El LMM + AR(1) añade además la varianza $\tau_0^2$ .

Comparar OLS, GLS-AR(1) y LMM para Orthodont

El OLS subestima los errores estándar cuando hay correlación positiva

En datos longitudinales con correlación positiva, el OLS trata cada observación como independiente y sobreestima los grados de libertad efectivos, produciendo errores estándar más pequeños de lo correcto. Esto infla artificialmente los estadísticos $t$ y puede llevar a rechazar $H_0$ cuando no se debería. El GLS-AR(1) corrige este problema.

Apéndice: Estructuras de covarianza avanzadas (FA, HF, ARMA)

Las estructuras CS, AR(1) y UN son las más usadas, pero existen alternativas para situaciones especiales. Esta sección presenta brevemente las estructuras Factor Analítica (FA), Huynh-Feldt (HF) y ARMA(1,1), siguiendo la taxonomía de Correa y Salazar (2016, sección 3.15.2).

Estructuras de covarianza avanzadas
Estructura	Descripción	Parámetros (n ocasiones)	Cuándo usarla	Función en R (nlme)
FA(q)	Factor Analítico de q factores. La matriz Σ = ΛΛ' + Ψ con Λ de rango q.	qn - q(q-1)/2 + n	Alternativa parsimoniosa a UN cuando n es grande; q=1 o q=2 suele ser suficiente.	corFactor()
HF (Huynh-Feldt)	Relaja la esfericidad de CS: Cov(yⱼ,yₖ) = (λⱼ + λₖ)/2 - λ	2n-1	Diseños de medidas repetidas donde la esfericidad no se cumple pero UN es demasiado general.	No directamente en nlme; usar corSymm() con restricciones
ARMA(1,1)	Proceso autorregresivo-media móvil de órdenes (1,1): ρₕ = φρₕ₋₁ + θδ(h=1)	2	Cuando AR(1) no captura bien la correlación a lag-1 (estructura de 'memoria' más compleja).	corARMA(p=1, q=1)

Comparar AR(1), ARMA(1,1) y FA(1) sobre Orthodont

Elegir estructuras de covarianza

Objetivos de aprendizaje

Más allá de la matriz D

Tres estructuras clásicas

Cómo elegir en la práctica

Flujo de análisis

Repaso rápido: flashcards

Autoevaluación

Apéndice: Regresión GLS con AR(1) puro (sin efectos aleatorios)

¿Cuándo usar GLS-AR(1) en lugar de un LMM?

Apéndice: Estructuras avanzadas — FA, HF y ARMA(1,1)

Apéndice: Regresión GLS con AR(1) puro (sin efectos aleatorios)

¿Cuándo usar GLS-AR(1) en lugar de un LMM?

Apéndice: Estructuras de covarianza avanzadas (FA, HF, ARMA)